Geometrie verstehen von Peter Denker

Über die Bedeutung von Medien, Sichtweisen
und Sprache für das Verständnis
geometrischer Konstruktionen

 

Nicht zufällig stand die Geometrie am Anfang aller Mathematik. Heutzutage führt sie an vielen Schulen im Rahmen des Mathematikunterrichts meist nur noch ein Nischendasein. Viele Referendare haben den Geometrieunterricht als so anspruchsvoll erlebt, dass sie ihn als Lehrer nicht mit der möglichen und nötigen Begeisterung praktizieren. Dabei kommt gerade diesem Unterricht eine hervorragende Rolle in der "Schule des Bewusstseins" zu, wie im Folgenden an einigen Beispielen aufgezeigt wird.

Wechselbeziehung von Sprache, Imagination und Handlung

"Jede Stunde ist eine Deutschstunde" hieß es früher in der Lehrerausbildung. Das war ein guter Grundsatz, den man heutzutage leider nicht mehr hört. Denn jeder Mensch kann seine eigenen Gedanken und sein eigenes Tun nur so präzise beschreiben, wie es seine sprachliche Kompetenz hergibt. Wer also Gedanken reflektieren und kommunizieren möchte, muss über die sprachlichen Ausdruckmittel dazu verfügen. Die sprachliche Formulierung ist ein Teil dessen, was man als Verstehen eines Sachverhalts bezeichnet. Die Fähigkeit, die sprachliche Formulierung einer Tätigkeitsbeschreibung in eine adäquate Handlung (Konstruktion) umzusetzen, ist der dazu korrespondierende Teil. Wer also beschreiben kann, was er getan hat, und tun kann, wozu er die Beschreibung vorliegen hat, der hat den Sachverhalt, um den es geht, gewiss umfassend verstanden. Genau dazu bietet die Geometrie insofern eine hervorragende Lernumgebung, als sie es mit systematisch reproduzierbaren Konstruktionen zu tun hat, bei denen Beschreibung und Herstellung umkehrbar eindeutig auf einander bezogen sind. Die Kette "Verbalisierung <-> Vorstellung <-> Realisierung" lässt sich gerade mittels geometrischer Konstruktionen so präzise in beiden Richtungen durchlaufen, dass die Geometrie ein exemplarisches Übungsfeld für die Bewusstseinsbildung darstellt. Fähigkeiten, die in dieser beispielhaften Umgebung erworben und eingeübt werden, sind nämlich (jedenfalls nach Erfahrung und Überzeugung des Autors) eine hervorragende Grundlage zur Ausprägung entsprechender Fähigkeiten in anderen Bereichen menschlichen Erkennens und Handelns.

Verschiedene Sichtweisen des gleichen Sachverhalts

Bei Beschreibungen ist ein unter dem Gesichtspunkt der Bewusstseinsbildung für ein umfassendes Verstehen sehr wichtiger Aspekt der Wechsel der Perspektive. Auch dazu eignet sich die Geometrie beispielhaft, indem ihre anschaulichen Sachverhalte aus unterschiedlicher Perspektive mit unterschiedlichem Abstraktionsgrad sprachlich und symbolhaft präzise beschrieben werden können.

Nr. Auftrag Bemerkung
1 Beschreibe genau, wie du die Konstruktionsaufgabe ausgeführt hast. Ich-Perspektive auf die einmal vollzogene Konstruktion im Perfekt
2 Beschreibe genau, wie du die Konstruk-tionsaufgabe (jederzeit) ausführen kannst. Ich-Perspektive auf die jederzeit nachvollziehbare Konstruktion im Präsens
3 Schreibe in Anweisungsform auf, was der tun soll, die Konstruktion auszuführen hat. Wechsel der Perspektive zu dem Gegenüber, das die Konstruktion ausführen soll
4 Beschreibe, was man zu tun hat, um die Konstruktion durchzuführen. Wechsel der Perspektive zu einem allgemeinen Dritten ("man"), der die Konstruktion ausführt
5 Beschreibe die Eigenschaften der konstruierten geometrischen Objekte in der Reihenfolge, in der sich ihre Konstruktion ausführen lässt. Wechsel der Perspektive zum unpersönlich und abstrakt darzustellenden Konstruktions-Sachverhalt
6 Notiere die Konstruktion der geometrischen Objekte in der genuinen Abfolge in Symbolform. Beibehaltung der abstrakten Perspektive, Übersetzung der vorigen Form in Symbolschreibweise.


Tab. 1   Auftragsformulierungen und Perspektiven

Dabei ergeben sich aus den genannten 6 Aufträgen und den ihnen zugrundeliegenden Perspektiven jeweils unterschiedliche Beschreibungen einer Konstruktionsaufgabe. Ersichtlich ist die Reihenfolge der Formulierungen auch durch zunehmende Abstraktion bestimmt. Das soll nun an drei Beispielen von unterschiedlicher Komplexität konkret aufgezeigt werden.

Für jedes Beispiel dienen eine Planfigur und eine fertige Konstruktionszeichnung der Veranschaulichung des jeweiligen Sachverhalts.

1. Beispiel: Konstruktion eines Dreiecks aus drei gegebenen Seiten

Die Planfigur (Abb. 1a) besteht aus einem "beliebigen" Dreieck. Zur Vermeidung irgendeiner Spezialisierung genügt es, ihm drei verschieden lange Seiten zu geben, keinen rechten und keine zwei gleichen Innenwinkel. Im Plandreieck werden die Eckpunkte mit A, B und C bezeichnet. Die Eckpunkte werden so benannt, dass sie in ihrer Abfolge im Gegenuhrzeigersinn ("mathematisch positiv") angeordnet sind. Aus dieser Skizze wird eine Planfigur, indem man die gegebenen Stücke hervorhebt (farblich oder durch die Strichdicke) und benennt. Im vorliegenden Beispiel werden also die drei Seiten hervorgehoben und die A gegenüberliegende Seite mit a, die B gegenüberliegende mit b und die dritte Seite mit c bezeichnet.

Abb. 1a   Planfigur zu Beispiel 1

Eine der drei Seiten kann ohne weiteres gezeichnet werden. Der fehlende Eckpunkt C hat von den Endpunkten der gegebenen Strecke c = s(AB) bekannte Abstandsmaße a und b. Er liegt also auf dem Schnittpunkt der beiden Kreise um die Endpunkte der Strecke c mit den Radien, die durch die beiden übrigen Streckenlängen a und b gegeben sind.

Abb. 1b   Konstruktion zu Beispiel 1

Schülern fällt es leicht, diese Konstruktion mit Zirkel und Lineal auszuführen. Schwerer fällt es ihnen aber zu beschreiben, was sie getan haben.

Es folgen die 6 Formulierungen gemäß Tab. 1, jeweils paarweise einander gegenübergestellt.

Formulierung 1.1 (Ich-Form im Perfekt) Formulierung 1.2 (Ich-Form im Präsens)
"Ich habe eine Strecke der Länge c cm gezeichnet und ihre Endpunkte A und B genannt.
Dann habe ich einen Kreis um A mit dem Radius b cm geschlagen und einen weiteren Kreis um B mit dem Radius a cm.
Deren Schnittpunkte habe ich mit C und C' bezeichnet.
Dabei habe ich den Schnittpunkt C genannt, der zu A und B im Gegenuhrzeigersinn liegt.
"Ich zeichne eine Strecke der Länge c mit den Endpunkten A und B.
Dann schlage ich einen Kreis um A mit dem Radius b und einen Kreis um B mit dem Radius a.

Deren Schnittpunkte nenne ich C und C', und zwar so, dass C zu A und B im Gegenuhrzeigersinn liegt.
Das Dreieck ABC hat die gewünschten Eigenschaften."
Formulierung 1.3 (Anweisungs-Form) Formulierung 1.4 (Unpersönliche Form)
"Zeichne eine Stecke der Länge c mit den Endpunkten A und B.
Schlage dann einen Kreis um A mit dem Radius b und einen Kreis um B mit dem Radius a.
Nenne deren Schnittpunkte C und C', und zwar so, dass C zu A und B im Gegenuhrzeigersinn liegt.
"Man zeichnet eine Strecke der Länge c mit den Endpunkten A und B.
Dann schlägt man den Kreis um A mit dem Radius b und den Kreis um B mit dem Radius a.
Deren Schnittpunkte nennt man C und C', und zwar so, dass C zu A und B im Gegenuhrzeigersinn liegt.
Das Dreieck ABC hat die gewünschten Eigenschaften."
Formulierung 1.5
(Sachlich-deskriptive Form)
Formulierung 1.6 (Symbolform) vgl. Tab. 2
"Die Stecke AB hat die Länge c.
Der Kreis um A mit dem Radius b schneidet den Kreis um B mit dem Radius a in den Punkten C und C'.
Dabei sei C der Punkt, der zu A und B im Gegenuhrzeigersinn liegt.
Das Dreieck ABC hat die gewünschten Eigenschaften."
c = s(AB),
{C, C'} = k(A,b) ∩ k(B,a)
mit C ./. o(ABC) > 0
⇒ dr(ABC):
s(AB) = c, s(BC) = a, s(CA) = b;
eind. lt. SSS

Hier nun eine Legende zu den Formulierungen in Symbolform:

Symbol Lesweise Anmerkung
= ist auch Zuweisungszeichen
, und Aufzählungstrennzeichen
s(XY) Strecke mit den Endpunkten X und Y alternativ:
XY
M(s) Mittelpunkt der Strecke s  
d(X,Y) Abstand zweier Punkte X und Y
d(P,g) Abstand eines Punktes P von einer Geraden g
||(g,d) Parallelen zur Geraden g im Abstand d
||(g,P) Parallele zur Geraden g durch den Punkt P
{C, D, …} Menge mit den Elementen C, D, … hier meist Punktmengen
k(M,r) Kreis um den Mittelpunkt M mit dem Radius r alternativ: Kreiszeichen mit Mittelpunkt statt k
k1 ∩ k2 Schnittmenge (gemeinsame Punkte von) von k1 und k2
mit mit der zusätzlichen Eigenschaft
./. so, dass
o(A,B,C) Orientierung der Punkte A, B, C positiv bei Gegenuhrzeigersinn
daraus folgt
dr(A,B,C) Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C alternativ: Δ ABC
: hat die Eigenschaft(en)
; wegen Kommentar, Begründung
eind. eindeutig
lt. laut zugrundeliegender Satz
SSS Kongruenzsatz "Seite-Seite-Seite"


Tab. 2   Legende zu den verwendeten Symbolen und ihrer Lesweise

Anhand dieser Tabelle wird deutlich, dass die Lesweise der unter 1.6 notierten Symbolfolge mit dem Text in der Formulierung 1.5 inhaltlich übereinstimmt. Die sprachliche Formulierung 1.5 sollte ggf. als Ergänzung zu 1.6 verlangt werden, um sicher zu stellen, dass die Symbolschreibweise auch mit den Vorstellungen in Einklang ist.

Ein Schüler, der die Ausdrucksfähigkeit und das Abstraktionsvermögen ausgebildet hat, um die Konstruktion wie in Art von 1.5 oder 1.6 zu beschreiben, erkennt vermutlich die Konstruktionsaufgabe als Beispiel für den allgemeinen Sachverhalt, den es repräsentiert, und er kann hinzufügen:

    "Das Dreieck ABC' ist zu Dreieck ABC achsensymmetrisch (mit AB als Symmetrieachse).
    Die Eindeutigkeit der Form folgt aus dem Kongruenzsatz SSS (d.h. Dreicke mit Übereinstimmung in allen entsprechenden Seiten sind kongruent)."

Damit wird er dem "gymnasialen Anspruch" des Faches vorbildlich gerecht und verdient für die ausgezeichnete Leistung auch besondere Anerkennung.

2. Beispiel:
Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks
aus der Hypotenuse c und der Höhe hc

Die Planfigur (Abb. 2a) ist selbsterklärend.

Abb. 2aPlanfigur zu Beispiel 2

Zur Konstruktion muss der Satz des Thales bekannt sein, wonach C auf dem Thaleskreis über der Strecke AB liegt. Die Höhe hc bestimmt den Abstand des Punktes C von AB. Also muss C auf einer Parallelen zu AB im Abstand hc liegen.Die Konstruktionsdurchführung zeigt Abb. 2b.

Abb. 2b Konstruktion zu Beispiel 2

Die Beschreibungen können dann - wieder auf unterschiedlichem Abstraktionsniveau und aus verschiedenen Perspektiven - folgendermaßen lauten:

Formulierung 2.1 (Ich-Form im Perfekt) Formulierung 2.2 (Ich-Form im Präsens)
"Ich habe die Seite c gezeichnet und ihre Endpunkte A und B genannt.
Dann habe ich die Strecke durch Konstruktion des Mittellots halbiert und dessen Fußpunkt M genannt.
Um M habe ich den Kreis mit dem Radius r(AM) = c/2 geschlagen.
Dann habe ich eine Parallele zu AB im Abstand hc auf der Seite von AB gezeichnet, deren Punkte zu A und B im Gegenuhrzeigersinn liegen.
Die Schnittpunkte dieser Parallelen mit dem Kreis habe ich C und C' genannt.
"Ich zeichne die Seite c mit den Endpunkten A und B
und konstruiere deren Mittelpunkt M als Fußpunkt des Mittellotes auf c.
Um M schlage ich den Kreis mit dem Radius r(AM) = c/2.
Schließlich zeichne ich eine Parallele zu AB im Abstand hc auf derjenigen Seite, dass ihre Punkte zu A und B im Gegenuhrzeigersinn liegen.
Die Schnittpunkte dieser Parallelen mit dem Kreis nenne ich C und C'.
Die beiden Dreiecke ABC und ABC' haben die gewünschten Eigenschaften."
Formulierung 2.3 (Anweisungs-Form) Formulierung 2.4 (unpersönliche Form)
"Zeichne die Seite c mit den Endpunkten A und B.
Konstruiere deren Mittelpunkt M als Fußpunkt des Mittellotes auf c.
Schlage um M den Kreis mit dem Radius r(AM)=c/2 und zeichne zu AB diejenige Parallele im Abstand hc, deren Punkte zu A und B im Gegenuhrzeigersinn liegen.
Deren Schnittpunkte mit dem Kreis nenne C und C'.
"Man zeichnet die Seite c mit den Endpunkten A und B und konstruiert deren Mittelpunkt M als Fußpunkt des Mittellots auf dieser Seite.
Um diesen Mittelpunkt schlägt man den Kreis mit dem Radius r(AM)=c/2.
Sodann konstruiert man zu AB diejenige Parallele im Abstand hc, deren Punkte mit A und B im Gegenuhrzeigersinn liegen.
Deren Schnittpunkte mit dem zuvor konstruierten Kreis nennt man C und C'.
Die beiden Dreiecke ABC und ABC' haben die gewünschten Eigenschaften."
Formulierung 2.5 (Sachlich-deskriptive Form) Formulierung 2.6 (Symbolform) vgl. Tab.2
Die Strecke der Länge c hat die Endpunkte A und B sowie den Mittelpunkt M.
Der Thaleskreis über s(AB) scheidet diejenige Parallele zu AB im Abstand hc, deren Punkte mit A und B ein Rechtssystem bilden, in C und C'.
Die beiden Dreiecke ABC und ABC' haben die gewünschten Eigenschaften.
c = s(AB), M = M(c),
{C, C'} = k(M, c/2) ∩ ||(c, hc)
mit C ./. o(ABC)>0
⇒ dr(ABC): s(AB)=c,
  d(C,c) = d(C',c) = hc

Zusatz zu 2.5 (in Entsprechung zu 1.5):

    Konstruktionsbedingung ist hc ≤ c/2. Nur für hc = c/2 entsteht ein einziges Dreieck (C= C'), sonst zwei zum Mittellot durch M symmetrische Dreiecke.

Zu 2.6 gilt das unter 1.6 Gesagte entsprechend.

An diesem Beispiel wird exemplarisch dargestellt, wie sich neben klassischen Konstruktionsmittel Zirkel und Lineal das Computerprogramm ‹1› GEONExT einsetzen lässt, um die Konstruktion dahingehend zu dynamisieren, dass sowohl c als auch hc in Länge und Richtung veränderbar sind. Dabei wird der Inhalt des Thales-Satzes ebenso evident wie die vorerwähnte Konstruktionsbedingung hc ≤ c/2.

Das mit GEONExT erzeugte Konstruktionsprotokoll zeigt Abb. 2c:

Abb. 2cGEONExT Konstruktionsprotokoll zu Beispiel 2

Hierauf wird weiter unten im Abschnitt → Didaktische Aspekte noch näher eingegangen.

3. Beispiel:
Konstruktion der Tangenten an einen Kreis von einem Punkt außerhalb

Abb. 3aPlanfigur zu Beispiel 3

Auch diese Konstruktionsaufgabe verlangt Vorkenntnisse:

  1. Kreistangenten sind stets orthogonal zu den Berührradien.
  2. Satz des Thales.

Mit Verfügbarkeit dieser Vorkenntnisse darf angenommen werden, dass die persönlichen Beschreibungsformen (wie in 1.1 und 1.2) überwunden sind und nun nebeneinander 3a die neutrale Verfahrensbeschreibung (in ‚man'-Form) und 3b die sachlich-deskriptive Beschreibung als eingeübt gelten dürfen. Als 3c wird noch die Symbolform hinzugefügt. Die fertige Konstruktion zeigt Abb. 3b.

Abb. 3bKonstruktion zu Beispiel 3
Formulierung 3a (Unpersönliche Form)

Man zeichnet einen Kreis mit Mittelpunkt M und dem Radius R sowie einen beliebigen Punkt X außerhalb des Kreises. Zur Strecke MX konstruiert man deren Mittelpunkt H. Die Schnittpunkte des Thaleskreises über der Strecke MX (mit dem Mittelpunkt H und dem Radius HM) mit dem vorgegebenen Kreis um M bezeichnet man mit T und T'.
Die Geraden TX und T'X sind die gesuchten Tangenten von X an den gegebenen Kreis. Sie stehen senkrecht auf den Berührradien MT bzw. MT'.

Formulierung 3b
(Sachlich-deskriptive Form)
Formulierung 3c (Symbolform)
vgl. Tab.2
Gegeben sind ein Kreis um M mit Radius r und ein Punkt X außerhalb. H ist der Mittelpunkt der Strecke MX. Der Thaleskreis über MX schneidet den gegebenen Kreis in den Berührpunkten T und T'. Die Geraden TX und T'X sind die gesuchten Tangenten. Sie stehen senkrecht auf ihren Berühr-Radien. s = s(MX), H = M(s)),
{T, T'} = k(M,r) ∩ k(H, d(M,H)),

t = TX, t' = T'X
⇐ t ⊥ MT, t' ⊥ MT'

Lust auf mehr?

Wer die Konstruktionsbeispiele zu simpel findet, der mag sich der Aufgabe zuwenden, folgende Konstruktionsbeschreibung nachzuvollziehen und dann festzustellen, was dabei entsteht:

 

    Gegeben sind zwei disjunkte Kreise k1 und k2 mit den Mittelpunkten M1 und M2 und den Radien r1 und r2.
    "Disjunkt" bedeutet, dass der Abstand der Kreismittelpunkte größer ist als die Summe der Radien r1+r2.
    Die in M1 und M2 auf der Geraden M1M2 errichteten Lote schneiden k1 und k2 in H1 und H1' bzw. in H2 und H2'.
    Die Gerade H1H2' schneidet die Gerade M1M2 in Z, die Gerade H1H2 die Gerade M1M2 in Z'.
    Der Thaleskreis über M1Z' schneidet k1 in T1 und T1',
    der Thaleskreis über M1Z schneidet k1 in T3 und T3'.
    Die Geraden T1Z', T1'Z', T3Z und T3'Z sind die Ergebnisse der Konstruktion.

    Zusatzaufgabe: Beschreiben Sie die Konstruktion der Punkte T2, T2', T4 und T4' in der Konstruktionszeichnung (s.u.) ohne Verwendung der Ergebnisgeraden.

 

Um die durchgeführte Konstruktion zu verstehen sind folgende Vorkenntnisse erforderlich:

 

  1. Zwei disjunkte Kreise können durch zwei zentrische Streckungen auf einander abgebildet werden.
  2. Die beiden Streckungszentren sind Schnittpunkte der Verbindungsgeraden "entsprechender" Punkte. Das sind z.B. die beiden Kreismittelpunkte und die Schnittpunkte der in diesen auf ihrer Verbindungsgeraden errichteten Lote mit dem jeweiligen Kreis.
  3. Tangente und Berührradius sind zu einander orthogonal (vgl. Beispiel 3).

 

Die Planfigur und die fertige Konstruktionszeichnung finden sich neben den übrigen Fotos zu diesem Beitrag im zugeordneten ‹2› Picasa-Webalbum.

Didaktische Aspekte

Lernfortschritte

Die in Tab.1 gewählte Nummerierung der Aufträge und Perspektiven stellt hinsichtlich des intellektuellen Anspruchs an das Abstraktionsvermögen eine Folge mit aufsteigendem Schwierigkeitsgrad dar. Das bedeutet, dass man sich als Lehrer bei einfachen Konstruktionen im Anfang des Geometrieunterrichts tunlichst auf Anforderungen der Nummern 1 bis 4 beschränkt und statt des Perfekts womöglich sogar das narrative Imperfekt eine Weile zulässt.

Es ist ratsam, diese einfachen Formen der Beschreibung den Schülern nebeneinander zum Vergleich anzubieten und sie zu befragen, welche Formulierung ihnen am besten gefällt. Jeder sollte eine Weile bei der Art bleiben dürfen, die ihm am eingängigsten erscheint.

Das erzählerische Imperfekt wird man am einfachsten los, wenn man etwa die folgende Formulierung zu Beispiel 1 im Tonfall eines Märchenerzählers vorträgt:

 

    "Ich zeichnete eine Strecke der Länge c cm und nannte ihre Endpunkte A und B. Dann schlug ich einen Kreis um A mit dem Radius b cm und noch einen weiteren Kreis um B mit dem Radius a cm. Deren Schnittpunkte gab ich die Namen C und C'. C nannte ich dabei denjenigen Schnittpunkt, der zu A und B im Gegenuhrzeigersinn lag. Damit war ich fertig."

 

Die damit ausgelöste Heiterkeit lässt sich mit der Frage, woran sie sich denn entzündet, zu einer Analyse der Schwachstellen dieser Formulierung und der Erarbeitung von Verbesserungsvorschlägen nutzen.

Es gehört zur Normalität des Geometrieunterrichts, dass Schüler weniger oder anderes beschreiben als sie eigentlich meinen. Solche Formulierungen sollten (frei von Ironie oder Abwertung) Wort für Wort an die Tafel geschrieben und wortgetreu in eine Zeichnung umgesetzt werden. Damit wird die Notwendigkeit der Verbesserung allen offensichtlich.

Nutzen der Beschreibungen

Im herkömmlichen Geometrieunterricht, wie ihn der Autor selbst als Schüler erlebt hat, war die aufgegebene Konstruktionsbeschreibung ein lästiges Geschäft, dessen Sinn nicht recht einsichtig war. Hier setzt Bewusstseinsbildung an:
Reflexion des Vorgangs

Problem → Planskizze → Lösungsidee → Konstruktion → Beschreibung → Ergebnisfeststellung

führt zwangsläufig zur Frage nach der Notwendigkeit oder dem Nutzen von Beschreibungen: Sie sind ein wesentliches Element des Verstehens und gehören unverzichtbar zur Bewusstseinsbildung hinzu wie eingangs dargelegt.

Damit sie diese Rolle auch zum Tragen bringen, dürfen Beschreibung keineswegs nur nach der Konstruktion erfolgen, sondern sollen möglichst oft auch der Ausführung einer Konstruktion ohne Planfigur zugrunde gelegt werden. Dabei zeigt sich, wieweit die Schüler im Laufe der Zeit auch anspruchsvollere Formulierungen als Handlungsanweisungen richtig interpretieren und ihre eigenen Beschreibungen zunehmend abstrakter formulieren können.

Praktisches Tun

Nicht nur die Zeichnung von Planfiguren und die Ausführung von Konstruktionen mit Zirkel und Lineal stellt ein Übungsfeld für tätige Lernprozesse dar, sondern auch das Experimentierende Handhaben dieser Werkzeuge. Als Beispiel diene dafür ein Foto (Abb. 4), das zeigt, wie man den Thalessatz intuitiv entdecken lassen kann. Der zugrundeliegende Arbeitsauftrag lautet etwa folgendermaßen:

 

    "Markiere auf einem Zeichenblock die Endpunkte einer 10 cm langen Strecke mit Reißbrettstiften, die soweit in den Block eingedrückt werden, dass unter jedem Reißnagelkopf noch etwa 1,5 mm Abstand vom Papier bleibt. Führe dann ein Geodreick mit seinem rechten Winkel nach oben so an den Stiften entlang, dass es sie beiderseits berührt. Ziehe mit einem Bleistift entlang beider Kanten des rechten Winkels Linien vom Scheitel des rechten Winkels bis zu den Reißnägeln hinab. Zeichne nun soviele Dreiecksspitzen in verschiedener Lage des Geodreiecks, bis du eine Vermutung formulieren kannst. Wie lautet sie?"

 

Abb. 4 Wiederentdeckung des Satzes von Thales
mit Geodreieck und Reißbrettstiften

Daneben ist die Verwendung der interaktiven Möglichkeiten eines Programms wie GEONExT ein ideales Instrument zum Demonstrieren von geometrischen Zusammenhängen. Auch damit lässt sich an vielfältigen Beispielen die Wechselbeziehung zwischen Absicht, Konstruktion, Variation, Beobachtung und deren Verbalisierung planen, erfahren und üben.

Im Hinblick auf das Beispiel in Abb. 4 ist die mit GEONExT gefertigte Konstruktionszeichnung in Abb. 2b so angelegt, dass bei Verschieben des "Gleiters" H das Punktepaar C, C' auf dem Kreisbogen "wandert". Um den Blick auf den "Winkel im Halbkreis" zu richten, ist dieser mit α bezeichnet und farblich markiert. Während Abb. 4 veranschaulicht, dass rechte Winkel über einer Grundlinie auf einem Kreis liegen, veranschaulicht Abb. 2b die Umkehrung, dass jeder "Winkel im Halbkreis" ein rechter Winkel ist.

Man lasse sich aber nicht verleiten, die physischen Konstruktionsmittel grundsätzlich durch virtuelle ersetzen zu wollen. Denn das Zeichnen mit Zirkel und Lineal aktiviert andere Hirnregionen als die Manipulation von Beobachtung von Bildschirminhalten. Vertieftes Verständnis erreicht man durch Verwendung realer und virtueller Medien!

Zusammenfassung

Die sprachliche Formulierung mathematischer (hier: geometrischer) Sachverhalte ist ein für die Bewusstmachung der Konstruktionsvorgänge und ihrer Grundlagen wesentliches Element. Die obigen Beispiele zeigen, dass die Versprachlichung aus verschiedenen Perspektiven und auf unterschiedlichem Abstraktionsniveau erfolgen kann. Die Beschreibung der Handlung (Konstruktionsausführung) und die von ihr bestimmte Vorstellung sowie die Handlung selbst und deren Vorstellung müssen einander eineindeutig entsprechen. Verständnis darf als erreicht gelten, wenn eine Beschreibung aus der schrittweise vorgeführten Konstruktion und umgekehrt die Konstruktion aus einer Beschreibung richtig erstellt werden können.

Der Charme der Geometrie als Bildungsgegenstand liegt gerade darin begründet, dass Denken, Verbalisieren und Handeln einander vielperspektivisch, auf unterschiedlichen Abstraktionsniveaus und präzise zugeordnet werden. Ohne Frage ist dies z.B. auch für Verfahren der Analysis, der praktischen Mathematik und der Informatik analog gestaltbar. Nur ist leider der "Mathematische Aufsatz" ganz aus der Mode gekommen und - schlimmer noch - die fachsprachliche akkurate Formulierung ein Stiefkind der Mathematiklehrerausbildung. Um diesem bedauerlichen Trend entgegenzuwirken, unternimmt die vorliegende Abhandlung den Versuch, mit konkreten Beispielen zur Gestaltung des Geometrieunterrichts als Exempel für bewusstseinsbildenden Unterricht einzuladen. Damit würde auch die eingangs erwähnte Forderung "jede Unterrichtsstunde sei eine Deutschstunde" wenigstens im Geometrieunterricht ihren Nutzen für das Verstehen von Sachverhalten und Vorgängen unter Beweis stellen.

 


LINKS:
‹1› GEONExT Geometrieprogramm des Lehrstuhls für Mathematik und ihre Didaktik an der Universität Bayreuth : http://geonext.uni-bayreuth.de - zurück zu ‹1› -
‹2› Picasa-Webalbum des Autors Abbildungen zu diesem Beitrag: https://picasaweb.google.com/112524797339134976477/Geometrie# - zurück zu ‹2› -

 


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